2 线性规划的应用
假设某公司生产两种产品，产品1的利润为10美元/单位，产品2的利润为20美元/单位。工厂每周最多可以工作40小时，生产产品1需要2小时，生产产品2需要1小时。此外，每周原材料的使用量不能超过100单位，生产产品1和产品2分别需要1单位和3单位的原材料。公司希望通过最大化利润来确定每周应该生产多少产品1和产品2。
问题可以表述为：
目标函数：
\(\text{Max} \quad 10x_1 + 20x_2\)
约束条件：
\(2x_1 + x_2 \leq 40 \quad \text{（时间约束）}\)
\(x_1 + 3x_2 \leq 100 \quad \text{（原材料约束）}\)
\(x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0 \quad \text{（非负约束）}\)
这个问题可以通过单纯形法或内点法求解，结果将告诉公司如何分配资源以实现最大利润。
1.使用Excel求解
在 Excel 中求解线性规划问题可以使用 规划求解（Solver） 工具。以下是步骤，帮助你在 Excel 中解决上面提到的生产计划优化问题。
步骤 1：输入数据
- 打开 Excel，创建一个新的工作表。
- 输入如下表格内容：
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| 1 | 产品 | 产品 1 (x1) | 产品 2 (x2) |
| 2 | 利润/单位 | 10 | 20 |
| 3 | 生产时间/单位 (小时) | 2 | 1 |
| 4 | 原材料/单位 | 1 | 3 |
| 5 | 总时间可用 (小时) | 40 | |
| 6 | 总原材料可用 (单位) | 100 | |
| 7 | 生产数量 | [空] | [空] |
| 8 | 总利润 | [空] |
步骤 2：设置公式
-
在单元格 C7 中输入变量 x1（产品 1 的生产数量）。
-
在单元格 D7 中输入变量 x2（产品 2 的生产数量）。
-
在单元格 C8 中输入目标函数总利润的公式，计算公式为：
=C2∗C7+D2∗D7
- 这将根据产品 1 和产品 2 的数量计算总利润。
步骤 3：设置约束
- 在单元格
C5 和 C6
中分别设置时间和原材料的约束。输入以下公式：
-
单元格 C5：=C3*C7 + D3*D7（时间约束公式）
-
单元格 C6：=C4*C7 + D4*D7（原材料约束公式）
这些公式将计算所用的总时间和总原材料量。
步骤 4：启用规划求解（Solver）
- 如果没有启用
规划求解（Solver）
，需要先启用该功能：
- 点击 文件 -> 选项 -> 加载项 -> 管理：Excel 加载项 -> 点击 转到。
-
勾选 规划求解，然后点击 确定。
-
启动
规划求解：
- 在菜单栏选择 数据 选项卡，然后点击 规划求解。
步骤 5：配置规划求解
-
设置目标：在 目标单元格 中选择 C8（即总利润单元格）。
-
设置目标为最大值：选择 最大值。
-
可变单元格：选择 C7:D7，表示产品 1 和产品 2 的生产数量。
-
添加约束 ：
-
点击 添加
，在弹出的窗口中添加约束：
- 约束 1：C5 <= 40 （时间限制）
- 约束 2：C6 <= 100（原材料限制）
- 约束 3：C7 >= 0 和 D7 >= 0（非负约束）
-
选择求解方法：在 求解方法 中选择 单纯形 LP。
步骤 6：运行求解器
- 设置完成后，点击 求解 按钮。Excel 会开始计算最优解。
- 结果出来后，点击 保持求解结果，然后点击 确定。
步骤 7：查看结果
求解完成后，C7 和 D7 单元格将显示最优生产数量，而 C8 单元格将显示最大利润。
这样，你就可以使用 Excel 的规划求解工具来解决线性规划问题了。
2.建模的技巧
在Excel中进行线性规划建模不仅是一个技术过程，也是一门艺术。有效的建模涉及到清晰的结构、简洁的表达以及灵活的分析。以下是一些提高Excel线性规划建模艺术性的建议：
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明确目标与假设
-
清晰定义问题：在开始建模之前，确保对问题有深刻的理解。明确目标函数、决策变量和约束条件。
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记录假设：在模型中清晰列出所有假设，这有助于后续分析和沟通。
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结构化设计
-
模块化布局：将模型分为几个模块，如数据输入、目标函数、约束条件和结果输出。这样可以提高可读性和可维护性。
-
使用表格：利用Excel表格（如Excel的表功能）组织数据，确保数据的清晰性和结构性。
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明智使用命名范围
-
使用命名范围：将重要的单元格（如参数和变量）命名，使公式更加直观和易于理解。例如，可以将利润系数命名为“利润_A”和“利润_B”，而不是使用单元格引用。
-
公式的简洁性
-
简化公式：尽量将公式简化，使其易于理解。避免使用过于复杂的嵌套函数，尽量保持公式的直观性。
-
分步骤计算：如果公式复杂，可以分解成多个步骤，每个步骤使用独立的单元格计算，然后在最终公式中引用这些中间结果。
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视觉化与反馈
-
使用图表：通过图表展示关键数据和结果，使模型更加直观。可以使用条形图、饼图等来表示决策结果或约束的使用情况。
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条件格式：利用条件格式高亮显示关键结果，帮助决策者快速识别重要信息和异常值。
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进行敏感性分析
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灵活性测试：设计模型时考虑不同情境，利用数据表或场景管理器进行What-If分析，探讨输入变化对输出的影响。
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记录结果：清晰记录不同情况下的结果，便于后续决策和讨论。
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增强可用性与交互性
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创建用户友好的界面：通过格式化和布局，使用户能够轻松输入数据和查看结果。使用下拉列表、复选框等控件提高交互性。
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注释和指导：在关键区域添加注释，指导用户如何使用模型，解释各个部分的意义。
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版本控制与文档化
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保留不同版本：定期保存不同版本的工作簿，便于跟踪模型的演变和历史。
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全面文档化：记录模型的创建过程、假设、结果及其意义，确保他人在需要时可以理解和复现模型。
-
实践与学习
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不断迭代：在使用过程中不断优化和改进模型，学习新的技巧和方法。
- 参与社区：参与Excel相关的论坛或社区，分享经验，学习他人的最佳实践和技巧。
结论
在Excel中进行线性规划建模不仅需要技术能力，还需要艺术性的设计和清晰的沟通。通过结构化设计、灵活的表达、有效的视觉化和敏感性分析，可以创建出既强大又用户友好的模型。这种艺术不仅提升了模型的实用性，也帮助决策者做出更明智的选择。
3.Python求解
可以使用 Python 的 scipy.optimize 模块中的 linprog 函数来求解线性规划问题。以下是使用该工具解决上述问题的示例：
python
复制代码
from scipy.optimize import linprog
# 定义目标函数的系数
c = [-10, -20] # 由于linprog是求最小值问题，所以目标函数系数取负值
# 定义约束矩阵和右侧的常数
A = [[2, 1], [1, 3]]
b = [40, 100]
# 定义非负约束
x0_bounds = (0, None)
x1_bounds = (0, None)
# 求解线性规划问题
res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, bounds=[x0_bounds, x1_bounds], method='simplex')
print(f"Optimal value: {-res.fun}")
print(f"x1 = {res.x[0]}, x2 = {res.x[1]}")
这个代码将输出公司应该生产的最优产品数量，以实现最大利润。
